Question

15．已知函数$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+a+1$．
（1）若$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$且a=1时，求f（x）的最大值和最小值．
（2）若x∈[0，π]且a=-1时，方程f（x）=b有两个不相等的实数根x₁、x₂，求b的取值范围及x₁+x₂的值．

Answer 1

分析 （1）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可求得$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，从而可求得）2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的最大值和最小值；
（2）代入a=-1，可得$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$，结合该函数在区间[o，π]的图象把方程f（x）=b的根转化为函数图象的交点问题．

解答 解：（1））若a=1，则f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，
∴当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的取得最大值为2，此时f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2在∈[0，$\frac{π}{2}$]的最大值为4，
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$时，2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的取得最小值为2sin$\frac{7π}{6}$=2×$（-\frac{1}{2}）$=-1，此时f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2在∈[0，$\frac{π}{2}$]的最小值为-1+2=1．
（2）若$a=-1，f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
∵0≤x≤π，
∴$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{13π}{6}$
∴-$\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$，
∴-1≤f（x）≤2，
当f（x）=b有两不等的根，结合函数的图象可得1＜b＜2或-2＜b＜1，
即b∈（-2，1）∪（1，2）；
由2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，得x=$\frac{π}{6}$，
由2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{3π}{2}$，得x=$\frac{2π}{3}$，
即函数在[0，π]内的对称性为x=$\frac{π}{6}$和x=$\frac{2π}{3}$，
次两个根分别关于x=$\frac{π}{6}$或x=$\frac{2π}{3}$对称，
即${x_1}+{x_2}=\frac{π}{3}或{x_1}+{x_2}=\frac{4π}{3}$．

点评 本题主要考查三角函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的性质，也体现了数形结合思想在解题中运用，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．