Question

14．已知函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{x+c}$（a＞0，c∈R）为奇函数，当x＞0时，f（x）的最小值为2．
（1）求函数的解析式
（2）若g（x）=f（x）-x，n∈N^*且n≥2，求证：$\frac{n-1}{2n}$≤g（2²）+g（3²）+g（4²）+…+g（n²）＜$\frac{n-1}{n}$．

Answer 1

分析 （1）先根据函数为奇函数即f（-x）=-f（x）求得c=0，进而根据均值不等式求得函数f（x）的最小值的表达式，结果为2求得a，进而求得函数f（x）的解析式；
（1）用分析法证明．分析得出只需证：$\frac{n-1}{2n}$≤$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{n-1}{n}$，从而左右两个方面进行证明即可，最后综合可得答案．

解答 解：（1）由函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{x+c}$（a＞0，c∈R）为奇函数，
可得f（-x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{-x+c}$=-f（x）=-$\frac{a{x}^{2}+1}{x+c}$，
∴-x+c=-x-c
∴c=0，
∴f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{x}$，
再由x＞0时，f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{x}$=ax+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{a}$=2，得2a=1，
故f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{x}$（x≠0）…（4分）
证明：（2）g（x）=f（x）-x=$\frac{1}{x}$，
要证：$\frac{n-1}{2n}$≤g（2²）+g（3²）+g（4²）+…+g（n²）＜$\frac{n-1}{n}$．
需证：$\frac{n-1}{2n}$≤$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{n-1}{n}$，
一方面：$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{1×2}$$+\frac{1}{2×3}$$+\frac{1}{3×4}$+…$+\frac{1}{（n-1）×n}$=1-$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$$+\frac{1}{3}$$-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=1-$\frac{1}{n}$=$\frac{n-1}{n}$…（10分）
另一方面：由$\frac{1}{{k}^{2}}≥\frac{1}{2k（k-1）}$ （k≥2）得：
$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$≥$\frac{1}{2×2×1}$$+\frac{1}{2×3×2}$$+\frac{1}{2×4×3}$+…$+\frac{1}{2×n×（n-1）}$=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{1×2}$$+\frac{1}{2×3}$$+\frac{1}{3×4}$+…$+\frac{1}{（n-1）×n}$]=$\frac{1}{2}$[1-$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$$+\frac{1}{3}$$-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$]=$\frac{n-1}{2n}$．
即$\frac{n-1}{2n}$≤$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{n-1}{n}$，
故$\frac{n-1}{2n}$≤g（2²）+g（3²）+g（4²）+…+g（n²）＜$\frac{n-1}{n}$…（12分）

点评 本题主要考查了函数的奇偶性的应用，均值不等式的应用，不等式的证明及函数的单调性．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．