题目内容
【题目】设和
是双曲线
上的两点,线段
的中点为
,直线
不经过坐标原点
.
(1)若直线和直线
的斜率都存在且分别为
和
,求证:
;
(2)若双曲线的焦点分别为、
,点
的坐标为
,直线
的斜率为
,求由四点
、
、
、
所围成四边形
的面积.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)法一:设不经过点的直线
方程为
,与双曲线方程联立,利用中点坐标表示
,再求
;法二:利用点差法表示
;
(2)先由已知求得双曲线方程和直线的方程,由条件表示四边形的面积
;令解,利用
的中点是
,直接求点
的坐标,再表示四边形的面积
.
(1)证明:法1:设不经过点的直线
方程为
,代入双曲线
方程得:
.
设坐标为
,
坐标为
,中点坐标为
,则
,
,
,
,所以,
,
.
法2:设、
,中点
,则
,
且
,
(1)﹣(2)得:.
因为,直线和直线
的斜率都存在,所以
,
等式两边同除以,得:
,即
.
(2)由已知得,求得双曲线方程为
,直线
斜率为
,
直线方程为
,代入双曲线方程可解得
,中点
坐标为
.
面积.
另解:线段中点
在直线
上.所以由中点
,可得点
的坐标为
,代入双曲线方程可得
,即
,解得
(
),所以
.面积
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】重庆市第八中学校为了解学生喜爱运动是否与性别有关,从全校学生中随机抽取50名学生进行问卷调查,得到如图所示的列联表.
喜爱运动 | 不喜爱运动 | 合计 | |
男生 | 22 | 8 | 30 |
女生 | 8 | 12 | 20 |
合计 | 30 | 20 | 50 |
附:,
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(1)能否有97.5%以上的把握认为“喜爱运动”与“性别”有关;
(2)用分层抽样的方法从被调查的20名女生中抽取5名进行问卷调查,求抽取喜爱运动的女生、不喜爱运动的女生各有多少的人;
(3)在(2)抽取的女生中,随机选出2人进行座谈,求至少有1名是喜爱运动的女生的概率.