题目内容
如图:在面积为1的DPMN中,tanÐPMN=,tanÐMNP=-2,试建立适当的坐标系,求以M、N为焦点且过点P的椭圆方程。
【错解分析】通过建立恰当的直角坐标系,将实际问题转化成解析几何问题来求解依题意:
坐标系的选择是显然的,(如图),从而椭圆方程为:,以下所要解决的问题就是怎样根据题目的条件来确定a、b了(待定系数法)。
【正解】如图:以MN所在直线为x轴,MN的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。
设以M、N为焦点且过点P的椭圆方程为:(a>b>0),
焦点为M(-c,0),N(c,0)(c>0)。由tanÐPMN=,tanÐMNP=-2知:直线MP的斜率为 ,直线PN的斜率为2所以直线MP、NP的方程分别为:和y=2(x-c)将此两方程联立解得:,即P点的坐标为。在DMNP中,|MN|=2c,MN边上的高即为P点的纵坐标
解得,即P点坐标为。再由两点间距离公式求得:由椭圆的定义可得:。又:故:所求椭圆的方程为:。
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