Question

【题目】已知且，函数，记.

（1）求函数的定义域及其零点；

（2）若关于的方程在区间内仅有一解，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）定义域为，零点为0.（2）见解析

【解析】试题分析：（1）根据得的解析式，即可求出的定义域，令，由对数函数的性质可解得的值，通过检验即可得到零点；（2）方程可化为，设，构造函数，可得单调性与最值，进而可得的取值范围.

试题解析：（1），

所以，解得，所以的定义域为.

令，则，

方程变为，即，

解得，

经检验是方程的增根，所以方程的解为，所以的零点为0.

（2）方程可化为 ，

所以，

设，则函数在区间上是减函数，

当时，此时， ，所以，

①若，则，方程有解；

②若，则，方程有解.

综上所述，当时， 的取值范围是；当时， 的取值范围是.