Question

【题目】在平面直角坐标系中，直线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线．

（Ⅰ）求曲线被直线截得的弦长；

（Ⅱ）与直线垂直的直线与曲线相切于点，求点的直角坐标．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或．

【解析】

（Ⅰ）首先把极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式和勾股定理的应用求出弦长．

（Ⅱ）利用直线垂直的充要条件的应用求出圆的切线方程，进一步利用直线和曲线的位置关系的应用求出切点的直角坐标．

（Ⅰ）由题意，曲线，可得，

又由，可得曲线的直角坐标方程为，

即，其中圆心坐标为，半径为1，

所以圆心到直线的距离，

所以曲线被直线截得的弦长为．

（Ⅱ）因为直线与直线垂直，设直线的方程为，

由直线与曲线相切，可得圆心到直线的距离，

解得或，

所以直线的方程为或．

设切点，联立方程组，解得，

方程组，解得，

即切点坐标为或．