题目内容

【题目】已知圆,直线过定点.

1)若直线与圆有交点,求其倾斜角的取值范围;

2)若为圆的两条相互垂直的弦,垂足为,求四边形的面积的最大值.

【答案】1;(2

【解析】

1)①当直线的斜率不存在时,可知满足题意,得到;②当直线的斜率存在时,可设直线方程,利用圆心到直线距离构造不等式求得的范围,根据斜率和倾斜角关系可得范围;综合两种情况可得结果;

(2)设圆心到直线的距离分别为,得到,利用垂径定理表示出,根据,结合基本不等式可求得最大值.

1)由圆的方程:圆心,半径

①当直线的斜率不存在时,直线的方程为

与圆交于点,满足题意,此时

②当直线的斜率存在时,设直线的方程为

直线与圆有交点,圆心到直线距离

,解得:

综上所述:倾斜角的取值范围为.

2)设圆心到直线的距离分别为,则

所以

,(当且仅当时取等号),

四边形的面积的最大值为.

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