Question

已知α，β是方程4x²－4tx－1＝0(t∈R)的两个实数根，函数f(x)＝的定义域为[α，β]．
(1)判断f(x)在[α，β]上的单调性，并证明你的结论；
(2)设g(t)＝maxf(x)－minf(x)，求函数g(t)的最小值

Answer 1

(1)f(x)在[α，β]上为增函数
∵f(x)＝，∴f′(x)＝，
∵当x∈(α，β)时，4x²－4tx－1<0，
∴当x∈(α，β)时，－2x²＋2tx＋>0，
∴当x∈(α，β)时，－2x²＋2tx＋2>0,
∴f′(x)>0，∴f(x)在[α，β]上单增．
(2)由题意及(1)可知，f(x)_max＝f(β)，f(x)_min＝f(α)，
∴g(t)＝f(β)－f(α)＝－
＝
∵α＋β＝t，αβ＝－，∴β－α＝＝，
α²＋β²＝(α＋β)²－2αβ＝t²＋，
∴g(t)＝，t∈R，
令＝U，则t²＝U²－1，U∈[1，＋∞)，
∴g(t)＝＝，
∵′＝>0，
∴在[1，＋∞)单调递增，
∴当U＝1，t＝0时，g(t)_min＝.

解析