Question

3．已知函数f（x）=x²+a²x-3lnx+a（a∈R）．
（1）是否存在实数a，使得f（x）在x=1处取得极值？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（2）若函数f（x）在区间（0，1）上单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得函数的导数，假设存在实数a，由f′（1）=0，解得a，加以检验即可得到所求；
（2）求得导数，由题意可得f′（x）≤0在（0，1）恒成立，由参数分离，求得右边函数的单调性可得范围，即可得到a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=x²+a²x-3lnx+a的导数为
f′（x）=2x+a²-$\frac{3}{x}$，
假设存在实数a，使得f（x）在x=1处取得极值，
即有f′（1）=0，即为2+a²-3=0，
解得a=±1，
若a²=1，则f′（x）=2x+1-$\frac{3}{x}$=$\frac{2{x}^{2}+x-3}{x}$
=$\frac{（x-1）（2x+3）}{x}$（x＞0），
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有x=1处取得极小值，
故a=±1成立；
（2）f′（x）=2x+a²-$\frac{3}{x}$，
若函数f（x）在区间（0，1）上单调递减，
则f′（x）≤0在（0，1）恒成立，
即有-a²≥2x-$\frac{3}{x}$，
由2x-$\frac{3}{x}$在（0，1）递增，即2x-$\frac{3}{x}$＜2-3=-1，
则-a²≥-1，
解得-1≤a≤1．
故a的取值范围是[-1，1]．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，考查不等式恒成立问题的解法，属于中档题．