Question

11．已知函数f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x²+3x+a（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若函数f（x）在区间[-4，4]上的最大值为26，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出导数，令导数大于0，解不等式即可得到所求增区间；
（2）求得f（x）在区间[-4，4]内的单调区间，求得极值，以及端点处的函数值，可得最大值，解方程可得a的值．

解答 解：（1）$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}+3x+a$，
则f′（x）=-x²+2x+3，
令f′（x）＞0，即-x²+2x+3＞0，解得-1＜x＜3，
所以函数f（x）的单调减区间为（-1，3）．
（2）由函数在区间[-4，4]内的列表可知：

x	-4	（-4，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，4）	4
f′（x）		-	0	+	0	-
f（x）		递减	极小值	递增	极大值	递减

函数f（x）在（-4，-1）和（3，4）上分别是减函数，在（-1，3）上是增函数．
又因为$f（-4）=a+\frac{76}{3}，f（3）=a+9$，所以f（-4）＞f（3），
所以f（-4）是f（x）在[-4，4]上的最大值，
所以$a+\frac{76}{3}=26$，即$a=\frac{2}{3}$．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于基础题．