Question

8．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，DD₁与平面ACD₁所成的角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 可分别以DA，DC，DD₁三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可设正方体的边长为1，从而可以确定一些点滴坐标，从而得出向量$\overrightarrow{D{D}_{1}}，\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{A{D}_{1}}$的坐标，可设平面ACD₁的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$．根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=0}\end{array}\right.$即可求出法向量$\overrightarrow{m}$，可设直线DD₁和平面ACD₁所成的角为θ，从而根据$sinθ=|cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{D{D}_{1}}＞|$即可求出sinθ，这样便可求出cosθ．

解答 解：如图，分别以边DA，DC，DD₁所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为1，则：
D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），D₁（0，0，1）；
∴$\overrightarrow{D{D}_{1}}=（0，0，1），\overrightarrow{AC}=（-1，1，0）$，$\overrightarrow{A{D}_{1}}=（-1，0，1）$；
设平面ACD₁的法向量为$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$，则：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=-x+y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=-x+z=0}\end{array}\right.$；
∴取x=1，则y=1，z=1，∴$\overrightarrow{m}=（1，1，1）$；
设DD₁与平面ACD₁所成角为θ，则：
sinθ=$|cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{D{D}_{1}}＞|=\frac{1}{1•\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴$cosθ=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故选D．

点评 考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线和平面所成角的方法，能确定空间点的坐标，根据点的坐标求向量的坐标，以及平面法向量的概念及求法，向量夹角余弦的坐标公式，要弄清直线和平面所成角和直线方向向量和平面法向量夹角的关系．