题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,已知圆
的半径为2,圆心在
轴的正半轴上,且与直线
相切.
(1)求圆的方程。
(2)在圆上,是否存在点
,使得直线
与圆
相交于不同的两点
,且△
的面积最大?若存在,求出点
的坐标及对应的△
的面积;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) . (2)见解析.
【解析】试题分析:(1)设圆心是,由直线
于圆相切可知,圆心到直线的距离等于半径,利用点到直线的距离公式可求
,进而可求圆
的方程;(2)把点
代入圆的方程可得,
的方程,结合原点到直线
的距离
,可求
的范围,根据弦长公式求出
,代入三角形的面积公式,结合二次函数的性质可求最大值.
试题解析:(1)设圆心是,它到直线
的距离是
,解得
或
(舍去),
所以所求圆的方程是
.
(2)存在,理由如下:因为点在圆
上,所以
,
且
.
又因为原点到直线的距离
,
解得,而
,
所以,
因为,所以当
,即
时,
取得最大值
,
此时点的坐标是
或
,
的面积的最大值是
.
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