题目内容

【题目】已知椭圆C的方程为 + =1(a>b>0),双曲线 =1的一条渐近线与x轴所成的夹角为30°,且双曲线的焦距为4

(1)求椭圆C的方程;
(2)设F1 , F2分别为椭圆C的左,右焦点,过F2作直线l(与x轴不重合)交于椭圆于A,B两点,线段AB的中点为E,记直线F1E的斜率为k,求k的取值范围.

【答案】
(1)解:由一条渐近线与x轴所成的夹角为30°,则 =tan30°= ,即a2=3b2

由2c=4 .c=2 ,则a2+b2=8,

解得:a2=8,b2=2,

∴椭圆的标准方程:


(2)解:由(1)可知:F2(2,0),直线AB的方程:x=ty+2,A(x1,y1),B(x2,y2),

,整理得:(t2+3)y2+4ty﹣2=0,

y1+y2=﹣ ,x1+x2=

则E( ,﹣ ),

由F1(﹣2,0),则直线F1E的斜率k= =﹣

①当t=0时,k=0,

②当t≠0时,丨k丨= =

即丨k丨∈(0, ],

∴k的取值范围[﹣ ].


【解析】(1)利用已知条件建立a和b的方程组,解方程组,可得椭圆的方程;(2)设直线AB的方程,A,B的坐标,联立方程组消去x,利用韦达定理可得斜率丨k丨用t表示,利用基本不等式可得k的取值范围.

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