题目内容
【题目】已知椭圆C的方程为 + =1(a>b>0),双曲线 ﹣ =1的一条渐近线与x轴所成的夹角为30°,且双曲线的焦距为4 .
(1)求椭圆C的方程;
(2)设F1 , F2分别为椭圆C的左,右焦点,过F2作直线l(与x轴不重合)交于椭圆于A,B两点,线段AB的中点为E,记直线F1E的斜率为k,求k的取值范围.
【答案】
(1)解:由一条渐近线与x轴所成的夹角为30°,则 =tan30°= ,即a2=3b2,
由2c=4 .c=2 ,则a2+b2=8,
解得:a2=8,b2=2,
∴椭圆的标准方程: ;
(2)解:由(1)可知:F2(2,0),直线AB的方程:x=ty+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
,整理得:(t2+3)y2+4ty﹣2=0,
y1+y2=﹣ ,x1+x2= ,
则E( ,﹣ ),
由F1(﹣2,0),则直线F1E的斜率k= =﹣ ,
①当t=0时,k=0,
②当t≠0时,丨k丨= = ≤ ,
即丨k丨∈(0, ],
∴k的取值范围[﹣ , ].
【解析】(1)利用已知条件建立a和b的方程组,解方程组,可得椭圆的方程;(2)设直线AB的方程,A,B的坐标,联立方程组消去x,利用韦达定理可得斜率丨k丨用t表示,利用基本不等式可得k的取值范围.
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