题目内容
【题目】已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时f(x)=2x﹣x2 ,
(1)求f(x)的表达式;
(2)设0<a<b,当x∈[a,b]时,f(x)的值域为 ,求a,b的值.
【答案】
(1)解:设x<0,可得﹣x>0,
∵当x≥0时f(x)=2x﹣x2,
∴f(﹣x)=﹣2x﹣(﹣x)2=﹣2x﹣x2,
∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(﹣x)=﹣f(x),
∴f(﹣x)=﹣f(x)=﹣2x﹣x2,
∴f(x)=x2+2x
∴f(x)=
(2)解:∵0<a<b,当x∈[a,b]时,当x≥0时f(x)=2x﹣x2=﹣(x﹣1)2+1
f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,
若0<a<b<1,可得值域为[2a﹣a2,2b﹣b2],
f(x)的值域为 ,∴ 解得a=b=1,(舍去)
若1<a<b,可得值域为[2b﹣b2,2a﹣a2],f(x)的值域为 ,
∴ ,解得a=b=1,
若0<a≤1≤b,可得x=1处取得最大值,f(x)max=f(1)=2﹣1=1,
最小值在x=a或x=b处取得,
∵当x∈[a,b]时,f(x)的值域为 ,
∴ =1,可得a=1,
若 =2a﹣a2,可得b=1(舍去);
若 =2b﹣b2,化简得(b﹣1)(b2﹣b﹣1)=0解得b1= ,b2= (舍去),
∴a=1,b=
【解析】(1)由题意设x<0,得﹣x>0利用已知的解析式求出f(﹣x)=﹣x2﹣2x,再由f(x)=﹣f(﹣x),求出f(x)时的解析式.(2)因为0<a<b,利用配方法,可以证明f(x)在x>0时的单调性,需要分类讨论,再对其进行求解;
【考点精析】本题主要考查了函数的定义域及其求法和函数的值域的相关知识点,需要掌握求函数的定义域时,一般遵循以下原则:①是整式时,定义域是全体实数;②是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1,零(负)指数幂的底数不能为零;求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的才能正确解答此题.
【题目】某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表
广告费用x(万元) | 4 | 2 | 3 | 5 |
销售额y(万元) | 49 | 26 | 39 | 54 |
根据上表可得回归方程 = x+ 的 为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A.63.6万元
B.65.5万元
C.67.7万元
D.72.0万元
【题目】某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表:
ωx+φ | 0 | π | 2π | ||
x | |||||
Asin(ωx+φ) | 0 | 5 | ﹣5 | 0 |
(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为( ,0),求θ的最小值.