已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}x+4a.x＜1\\{a^x}-a.x≥1\end{array}$.且f′上恒成立.那么a的取值范围是( )A．(0.1)B．C．[$\frac{1}{7}$.$\frac{1}{3}$)D．[$\frac{1}{7}$.1) 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

20．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}（3a-1）x+4a，x＜1\\{a^x}-a，x≥1\end{array}$，且f′（x）＜0在（-∞，+∞）上恒成立，那么a的取值范围是（　　）

A．

（0，1）

B．

（0，$\frac{1}{3}$）

C．

[$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{3}$）

D．

[$\frac{1}{7}$，1）

分析根据导数f′（x）＜0在（-∞，+∞）上恒成立，得到f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，继而得到关于a的不等式组，解得即可．

解答解：∵f′（x）＜0在（-∞，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a-1＜0}\\{0＜a＜1}\end{array}\right.$，
解得0＜a$＜\frac{1}{3}$，
故选：B．

点评本题考查了导数和函数的单调性的关系，以及不等式组的解法，属于基础题．

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