题目内容
6．求证：x∈R时，|x-1|≤4|x3-1|．分析 |x-1|≤4|x3-1||x-1|≤4|（x-1）（x2+x+1）||x-1|≤4|x-1||（x2+x+1）|，分类讨论，即可证明结论．
解答 证明：|x-1|≤4|x3-1||x-1|≤4|（x-1）（x2+x+1）||x-1|≤4|x-1||（x2+x+1）|
x=1时，左式=右式=0，符合题意；
x≠1时，x2+x+1=（x+$\frac{1}{2}$）2+$\frac{3}{4}$＞$\frac{1}{4}$，所以4|x-1||（x2+x+1）|＞|x-1|；
综上，x∈R时，|x-1|≤4|x3-1|．
点评 本题考查不等式的证明，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
练习册系列答案
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17．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sinωx+2{cos^2}\frac{ωx}{2}-1（ω＞0）$的最小正周期为π．对于函数f（x），下列说法正确的是（ ）
| A． | 在$[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$上是增函数 | |
| B． | 图象关于直线$x=\frac{5π}{12}$对称 | |
| C． | 图象关于点$（-\frac{π}{3}，0）$对称 | |
| D． | 把函数f（x）的图象沿x轴向左平移$\frac{π}{6}$个单位，所得函数图象关于y轴对称 |
15．已知向量$\vec a$，$\vec b$满足$|{\vec a}|=2\sqrt{2}|{\vec b}|≠0$，且关于x的函数$f（x）=2{x^3}+3|{\vec a}|{x^2}+6\vec a•\vec bx+7$在实数集R上单调递增，则向量$\vec a$，$\vec b$的夹角的取值范围是（ ）
| A． | $[{0，\left.{\frac{π}{6}}]}\right.$ | B． | $[{0，\left.{\frac{π}{3}}]}\right.$ | C． | $[{0，\left.{\frac{π}{4}}]}\right.$ | D． | $[{\frac{π}{6}，\left.{\frac{π}{4}}]}\right.$ |