题目内容

2.已知函数$f(x)=\sqrt{3}sinωx+cosωx(ω>0)$的最小正周期为π.对于函数f(x),下列说法正确的是(  )
A.在$[\frac{π}{6},\frac{2π}{3}]$上是增函数
B.图象关于直线$x=\frac{5π}{12}$对称
C.图象关于点$(-\frac{π}{3},0)$对称
D.把函数f(x)的图象沿x轴向左平移$\frac{π}{6}$个单位,所得函数图象关于y轴对称

分析 由条件利用两角和的正弦公式化简函数f(x)的解析式,再利用正弦函数的单调性以及它的图象的对称性,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论.

解答 解:函数$f(x)=\sqrt{3}sinωx+cosωx(ω>0)$=2sin(ωx+$\frac{π}{6}$) 的最小正周期为$\frac{2π}{ω}$=π,
∴ω=2,f(x)=2sin(2x+$\frac{π}{6}$).
由x∈$[\frac{π}{6},\frac{2π}{3}]$,可得2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$,$\frac{5π}{6}$],故f(x)=2sin(2x+$\frac{π}{6}$) 在$[\frac{π}{6},\frac{2π}{3}]$上是减函数,故排除A.
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z,求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$,故函数f(x)的图象关于直线x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$对称,故排除B.
令2x+$\frac{π}{6}$=kπ,k∈Z,求得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$,故函数f(x)的图象关于($\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{12}$,0)对称,故排除C.
所得函数图象对应的函数解析式为y=sin[2(x+$\frac{π}{6}$)+$\frac{π}{6}$]=cos2x,它是偶函数,
故它的图象关于y轴对称,
故选:D.

点评 本题主要考查两角和的正弦公式,正弦函数的单调性以及它的图象的对称性,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于中档题.

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