Question

8．已知函数f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）+cos（ωx-$\frac{π}{6}$）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的单调递减区间，其图象对称轴的方程和对称中心的坐标；
（2）作出该函数在一个周期内的简图；
（3）求函数f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得到f（x）=3sin（ωx+$\frac{π}{3}$），由此能求出函数f（x）的单调递减区间，其图象对称轴的方程和对称中心的坐标．
（2）由f（x）=3sin（ωx+$\frac{π}{3}$），利用“五点法“能作出该函数在一个周期内的简图．
（3）由f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{3}$），x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，得$2x+\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，由此能求出函数f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

解答 解：（1）f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）+cos（ωx-$\frac{π}{6}$）（ω＞0）
=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）+sin（ωx+$\frac{π}{3}$）
=3sin（ωx+$\frac{π}{3}$），
∵函数f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）+cos（ωx-$\frac{π}{6}$）（ω＞0）的最小正周期为π，
∴$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z，得到$\frac{π}{12}+kπ≤x≤\frac{7π}{12}+kπ$，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递减区间为[$\frac{π}{12}+kπ，\frac{7π}{12}+kπ$]，k∈Z．
由$2x+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z，得到f（x）图象对称轴的方程为：x=$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z．
由2x+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，得x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}$，k∈Z，∴对称中心（$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{6}$，0），k∈Z．
（2）列表：

x	-$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{7π}{12}$	$\frac{5π}{6}$
2x+$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
y	0	3	0	-3	0

由此利用“五点法“作出该函数在一个周期内的简图，如右图．
（3）∵f（x）=3sin（2x+$\frac{π}{3}$），x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，∴$2x+\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴f（x）_min=3sin（-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{3}{2}$，
f（x）_max=3sin（$\frac{π}{2}$）=3．
∴函数f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值为3，最小值为-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查三角函数的单调递减区间，其图象对称轴的方程、对称中心的坐标、函数在一个周期内的简图、函数f（x）在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值的求法，是中档题，解题时要注意三角函数的性质和五点法作图的合理运用．