题目内容
1．已知数列{an}，a1=1，点P（2an，an+1）（n∈N*）在直线x-y+1=0上．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设f（n）=$\frac{1}{{a}_{1}+1}$+$\frac{1}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}+1}$（n∈N*，且n≥2），求证：f（n）＜1．
分析 （1）由题意可得2an-an+1+1=0即an+1+1=2（an+1），再由等比数列的定义和通项公式，计算即可得到所求；
（2）运用等比数列的求和公式，结合不等式的性质即可得证．
解答 解：（1）点P（2an，an+1）（n∈N*）在直线x-y+1=0上，
即有2an-an+1+1=0即an+1+1=2（an+1），
故数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列．
即有an+1=2n，即an=2n-1；
（2）证明：由于$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=（$\frac{1}{2}$）n．
则f（n）=$\frac{1}{{a}_{1}+1}$+$\frac{1}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）2+…+（$\frac{1}{2}$）n
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-（$\frac{1}{2}$）n＜1．
点评 本题考查数列的通项的求法：注意运用构造数列，同时考查等比数列的求和公式的运用，属于中档题．
练习册系列答案
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15．若不等式|ax+1|≤3的解集为{x|-2≤x≤1}，则实数a=（ ）
| A． | 1 | B． | 2 | C． | 3 | D． | 4 |
9．设等差数列{an}的前n项和为sn，则s4，s8-s4，s12-s8，s16-s12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}前n项积为Tn，则T4，（ ），$\frac{{{T_{16}}}}{{{T_{12}}}}$成等比数列．
| A． | $\frac{T_6}{T_4}，\frac{{{T_{12}}}}{T_6}$ | B． | $\frac{T_8}{T_4}，\frac{{{T_{12}}}}{T_8}$ | ||
| C． | $\frac{{{T_{10}}}}{T_4}，\frac{{{T_{12}}}}{{{T_{10}}}}$ | D． | $\frac{{{T_{16}}}}{T_4}，\frac{{{T_{12}}}}{{{T_{16}}}}$ |