题目内容

2.平面直角坐标系中,O为坐标原点,设向量$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$,其中$\overrightarrow{a}$=(1,2),$\overrightarrow{b}$=(2,1),平面区域D由所有满足$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$,(0≤μ≤λ≤1)的点P(x,y)组成,点P使得z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值3,则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值是(  )
A.3+2$\sqrt{2}$B.4$\sqrt{2}$C.2D.3

分析 由满足的关系式得,$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-3≤0}\\{2y-x-3≤0}\\{x≤y}\\{x≥0,y≥0}\end{array}\right.$,可得当P(3,3)时Z取得最大值,3a+3b=6,由基本不等式得$\frac{1}{a}$$+\frac{2}{b}$=($\frac{1}{a}$$+\frac{2}{b}$)(a+b)=3$+\frac{b}{a}$$+\frac{a}{b}$$≥3+2\sqrt{2}$,当且仅当b=$\sqrt{2}a$时“=”成立

解答 解:∵$\overrightarrow{a}$=(1,2),$\overrightarrow{b}$=(2,1),平面区域D由所有满足$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$,点P(x,y)
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=λ+2μ}\\{y=2λ+μ}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{λ=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}y}\\{μ=\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y}\end{array}\right.$
∵0≤μ≤λ≤1.
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-3≤0}\\{2y-x-3≤0}\\{x≤y}\\{x≥0,y≥0}\end{array}\right.$

可得当P(3,3)时Z取得最大值,3a+3b=6,由基本不等式得$\frac{1}{a}$$+\frac{2}{b}$=($\frac{1}{a}$$+\frac{2}{b}$)(a+b)=3$+\frac{b}{a}$$+\frac{a}{b}$$≥3+2\sqrt{2}$,当且仅当b=$\sqrt{2}a$时“=”成立,

点评 本题考查平面向量的综合题,线性规划的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化

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