题目内容
2.平面直角坐标系中,O为坐标原点,设向量$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$,其中$\overrightarrow{a}$=(1,2),$\overrightarrow{b}$=(2,1),平面区域D由所有满足$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$,(0≤μ≤λ≤1)的点P(x,y)组成,点P使得z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值3,则$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值是( )A. | 3+2$\sqrt{2}$ | B. | 4$\sqrt{2}$ | C. | 2 | D. | 3 |
分析 由满足的关系式得,$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-3≤0}\\{2y-x-3≤0}\\{x≤y}\\{x≥0,y≥0}\end{array}\right.$,可得当P(3,3)时Z取得最大值,3a+3b=6,由基本不等式得$\frac{1}{a}$$+\frac{2}{b}$=($\frac{1}{a}$$+\frac{2}{b}$)(a+b)=3$+\frac{b}{a}$$+\frac{a}{b}$$≥3+2\sqrt{2}$,当且仅当b=$\sqrt{2}a$时“=”成立
解答 解:∵$\overrightarrow{a}$=(1,2),$\overrightarrow{b}$=(2,1),平面区域D由所有满足$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$,点P(x,y)
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=λ+2μ}\\{y=2λ+μ}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{λ=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}y}\\{μ=\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y}\end{array}\right.$
∵0≤μ≤λ≤1.
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-3≤0}\\{2y-x-3≤0}\\{x≤y}\\{x≥0,y≥0}\end{array}\right.$
可得当P(3,3)时Z取得最大值,3a+3b=6,由基本不等式得$\frac{1}{a}$$+\frac{2}{b}$=($\frac{1}{a}$$+\frac{2}{b}$)(a+b)=3$+\frac{b}{a}$$+\frac{a}{b}$$≥3+2\sqrt{2}$,当且仅当b=$\sqrt{2}a$时“=”成立,
点评 本题考查平面向量的综合题,线性规划的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化
A. | $\frac{1}{2}$(e x-e -x) | B. | $\frac{1}{2}$(e x+e -x) | C. | e x-e -x | D. | e x+e -x |
A. | g(x)=sin$\frac{π}{8}$(x+1) | B. | g(x)=sin($\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{4}$) | C. | g(x)=sin($\frac{π}{8}$x+1) | D. | g(x)=sin($\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{4}$) |
A. | a=3,b=3,c=4 | B. | a=4,b=5,c=6 | C. | a=4,b=6,c=7 | D. | a=3,b=3,c=5 |