题目内容
【题目】已知函数.
(1)若,
,求
的值域;
(2)当时,求
的最小值
;
(3)是否存在实数、
,同时满足下列条件:①
;② 当
的定义域为
时,其值域为
.若存在,求出
、
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) (2)
(3) 不存在满足条件的实数
、
.见解析
【解析】
(1)设t=3x,则φ(t)=t2﹣2at+3=(t﹣a)2+3﹣a2,φ(t)的对称轴为t=a,当a=1时,即可求出f(x)的值域;
(2)由函数φ(t)的对称轴为t=a,分类讨论当a时,当
a≤3时,当a>3时,求出最小值,则h(a)的表达式可求;
(3)假设满足题意的m,n存在,函数h(a)在(3,+∞)上是减函数,求出h(a)的定义域,值域,然后列出不等式组,求解与已知矛盾,即可得到结论.
(1)当时,由
,得
,
因为,所以
,
.
(2)令,因为
,故
,函数
可化为
.
① 当时,
;
② 当时,
;
③ 当时,
.
综上,
(3)因为,
为减函数,
所以在
上的值域为
,
又在
上的值域为
,所以,
即
两式相减,得,
因为,所以
,而由
可得
,矛盾.
所以,不存在满足条件的实数、
.
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