Question

已知函数f（x）=xlnx，且0＜x₁＜x₂，给出下列命题：
①

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜1；
②f（x₁）+x₂＜f（x₂）+x₁；
③x₂f（x₁）＜x₁f（x₂）；
④当lnx₁＞-1时，x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞2x₂f（x₁）．
其中所有正确命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：通过观察选项，出现了函数值的大小比较，可以看出需要利用函数的单调性去比较函数值及变量的大小关系，所以先对函数f（x）求导，判断它的单调性，并求出单调区间．判断的结果是f（x）在（0，

1

e

）上单调递减，在（

1

e

，+∞）上单调递增．然后逐项判断即可．

解答： 解：f′（x）=lnx+1，
x∈（0，

1

e

）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，

1

e

）单调递减，
x∈（

1

e

，+∞），f′（x）＞0，．∴f（x）在（

1

e

，+∞）上单调递增．
①令g（x）=f（x）-x=xlnx-x，
则g′（x）=lnx，设x₁，x₂∈（1，+∞），
则g′（x）＞0，∴函数g（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴由x₂＞x₁得g（x₂）＞g（x₁）；
∴f（x₂）-x₂＞f（x₁）-x₁，∴

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞1；故①错误；
②令h（x）=f（x）-x=xlnx-x，则h′（x）=lnx，
∴x∈（0，1）时，h′（x）＜0，
∴函数h（x）在（0，1）上单调递减，
设x₁，x₂∈（0，1），所以由x₁＜x₂得h（x₁）＞h（x₂），
∴f（x₁）-x₁＞f（x₂）-x₂，故②错误；
③令g（x）=

f(x)

x

=lnx，则g′（x）=

1

x

，（0，+∞）上函数单调递增，
∵x₂＞x₁＞0，∴g（x₂）＞g（x₁），∴x₂•f（x₁）＜x₁•f（x₂），即③正确；
④lnx₁＞-1时，f（x）单调递增，
∴x₁•f（x₁）+x₂•f（x₂）-2x₂f（x₁）=x₁[f（x₁）-f（x₂）]+x₂[f（x₂）-f（x₁）]=（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0
∴x₁•f（x₁）+x₂•f（x₂）＞x₁•f（x₂）+x₂f（x₁），
∵x₂•f（x₁）＜x₁•f（x₂），利用不等式的传递性可以得到x₁•f（x₁）+x₂•f（x₂）＞2x₂f（x₁），故④正确．
故答案为：③④．

点评：本题中用到了利用导数判断函数的单调性，并用到了函数单调性的定义．需要学习掌握的是构造函数的办法，学习怎么构造函数．