Question

【题目】已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x-6lnx,其中R.

(1)当=1时,判断f(x)的单调性;

(2)当=2时,求出g(x)在（0,1）上的最大值；

(3)设函数当=2时,若总有成立,求实数m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）f(x)在上单调递增；（2）；（3）[8-5.

【解析】

（1）当时，利用函数的导数可判断出函数在上递增.（2）当时，利用的导数求得函数的单调区间，进而求得函数的最大值.（3）将原不等式成立转化为来求解，根据（2）的结论以及二次函数在上的最大值列不等式组，解不等式组求得的取值范围.

(1)由题意知f(x)的定义域为

f′.

当a=1时,在上,f′

故f(x)在上单调递增.

（2）由lnx,当a=2时lnx,

g′由g′(x)=0,得或x=2.

当时,g′(x)>0;当时,g′(x)<0

所以在(0,1)内ln2.

(3)”总有成立”等价于”g(x)在(0,1)内的最大值不小于h(x)在[1,2]上的最大值”,而h(x)在[1,2]上的最大值为max{h(1),h(2)},

所以有即

可得即ln2,

所以实数m的取值范围是[8-5.