Question

【题目】如图，直三棱柱中，，，点是中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）．

【解析】

（1）由等腰三角形和直棱柱的性质，得出和，根据线面垂直的判定定理，即可证出平面；

（2）连接，交于点，连接，结合三角形的中位线得出，根据线面平行的判定定理，即可证出平面；

（3）连，交于点，分别取、中点、，连接、、，根据线面垂直的判定定理，可证出平面和平面，从而得出就是二面角的平面角，最后利用几何法求出二面角的余弦值．

解：（1）证明：，是中点，，

又在直三棱柱中，平面，平面，

，

又，平面，平面，

平面．

（2）证明：连接，交于点，连接，

、分别是、的中点，

是的中位线，，

平面，平面，

平面

（3）解：连，交于点，分别取、中点、，连接、、，

四边形是正方形且、分别是、的中点，故，

在中，，，

，，

又，分别是，中点且，

，

又在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，

，

，平面，平面，

平面，

平面，平面，

，，

又，，平面，平面，

平面，

平面，，

又平面平面

就是二面角的平面角，

设，则在中，，

，

故，

故，

即二面角的余弦值为.