题目内容
【题目】(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在坐标原点
,对称轴为
轴,焦点为
,抛物线上一点
的横坐标为
,且
.
(Ⅰ)求此抛物线的方程;
(Ⅱ)过点做直线
交抛物线
于
两点,求证:
.
【答案】(Ⅰ)
(Ⅱ)证明过程见解析.
【解析】
试题分析:对于第一问,根据题意,设出相应的点的坐标,应用点在曲先上,满足曲线的方程,向量垂直应用向量的数量积等于零,构造出相应的方程,从而求出p的值,进而得到抛物线的方程;对于第二问,把握住垂直关系由向量的数量积等于零来体现,注意对直线的斜率不存在的时候的验证,主要就是关于直线和曲线相交,联立方程组过程要熟练.
试题解析:(Ⅰ)设,点
,则有
1分
3分
,所以抛物线
的方程为
. 5分
(Ⅱ)当直线斜率不存在时,此时
,解得
满足 7分
当直线斜率存在时,设
,
联立方程
设,则
9分
11分
综上,成立. 12分
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