题目内容
【题目】已知函数f (x)＝ex，g(x)＝x－b，b∈R．
（1）若函数f (x)的图象与函数g(x)的图象相切，求b的值；
（2）设T(x)＝f (x)＋ag(x)，a∈R，求函数T(x)的单调增区间；
（3）设h(x)＝|g(x)|·f (x)，b＜1．若存在x1，x2
[0，1]，使|h(x1)－h(x2)|＞1成立，求b的取值范围．
【答案】（1）b＝－1（2）见解析（3）(－∞，
)
【解析】分析：（1）设切点为（t，et），由导数的几何意义，可得et=1，且et=t-b，即可得到b=-1；
（2）求出T（x）的导数，讨论当a≥0时，当a＜0时，由导数大于0，可得增区间；
（3）求出h（x）的分段函数，讨论x的范围，求得单调区间，对b讨论，求得h（x）的最值，由存在性思想，即可得到b的范围．
详解：
(1)设切点为(t，et)，因为函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切，
所以et＝1，且et＝t－b，
解得b＝－1．
（2)T(x)＝ex＋a(x－b)，T′(x)＝ex＋a．
当a≥0时，T′(x)＞0恒成立．
当a＜0时，由T′(x)＞0，得x＞ln(－a)．
所以，当a≥0时，函数T(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
当a＜0时，函数T(x)的单调增区间为(ln(－a)，＋∞)．
（3) h(x)＝|g(x)|·f(x)＝
当x>b时，h′(x)＝(x－b＋1) ex＞0，所以h(x)在(b，＋∞)上为增函数；
当x<b时，h′(x)＝－(x－b＋1) ex，
因为b－1＜x＜b时，h′(x)＝－(x－b＋1) ex＜0，所以h(x)在(b－1，b)上是减函数；
因为x＜b－1时， h′(x)＝－(x－b＋1) ex＞0，所以h(x)在(－∞，b－1)上是增函数．
当b≤0时，h(x)在(0，1)上为增函数．
所以h(x)max＝h(1)＝(1－b)e，h(x)min＝h(0)＝－b．
由h(x)max－h(x)min＞1，得b＜1，所以b≤0．
②当0＜b＜
时，
因为b＜x＜1时， h′(x)＝(x－b＋1) ex＞0，所以h(x)在(b，1)上是增函数，
因为0＜x＜b时， h′(x)＝－(x－b＋1) ex＜0，所以h(x)在(0，b)上是减函数．
所以h(x)max＝h(1)＝(1－b)e，h(x)min＝h(b)＝0．
由h(x) max－h(x) min＞1，得b＜
．
因为0＜b＜
，所以0＜b＜．
③当≤b＜1时，
同理可得，h(x)在(0，b)上是减函数，在(b，1)上是增函数．
所以h(x)max＝h(0)＝b，h(x)min＝h(b)＝0．
因为b＜1，所以h(x)max－h(x)min＞1不成立．
综上，b的取值范围为(－∞，
)．
