Question

【题目】已知函数，，，令.

（Ⅰ）研究函数的单调性；

（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；

（Ⅲ），正实数，满足，证明：.

Answer 1

【答案】(1) 的单增区间为.

(2)2.

(3)见解析.

【解析】分析：（1）先求函数的定义域，然后求导，通过导数大于0得到增区间；

（2）不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，应先求导数，研究函数的单调性，然后求函数的最值；

（3）联系函数的单调性，然后证明即可，注意对函数的构造.

详解：（1），，

由，得，又，所以，所以的单增区间为.

（2）方法一：令，

所以.

当时，因为，所以.所以在上是递增函数，

又因为，

所以关于的不等式不能恒成立.当时，

.

令，得，所以当时，；当时，.

因此函数在是增函数，在是减函数.

故函数的最大值为.令，因为，，又因为在上是减函数，所以当时，.所以整数的最小值为.

方法二：（2）由恒成立，得在上恒成立.

问题等价于在上恒成立.令，只要.因为

，令，得.设，因为，所以在上单调递减，不妨设的根为.当时，；当时，.所以在上是增函数；在上是减函数.

所以.因为，

所以.此时，.所以，即整数的最小值为.

（3）当时，， 由，即

从而

令，则由得，可知在区间上单调递减，在区间上单调递增.所以，所以，即成立.