Question

【题目】已知定义在R上的函数f（x）是奇函数，且满足f（3-x）=f（x），f（-1）=3，数列{an}满足a1=1且an=n（an+1-an）（n∈N*），则f（a36）+f（a37）=（　　）

A. B. C. 2D. 3

Answer 1

【答案】A

【解析】

根据条件判断函数的周期是6，利用数列的递推关系求出数列的通项公式，结合数列的通项公式以及函数的周期性进行转化求解即可．

∵函数f（x）是奇函数，且满足f（3-x）=f（x），f（-1）=3，

∴f（x）=f（3-x）=-f（x-3），

即f（x+3）=-f（x），则f（x+6）=-f（x+3）=f（x），

即函数f（x）是周期为6的周期函数，

由数列{an}满足a1=1且an=n（an+1-an）（n∈N*），

则an=nan+1-nan，即（1+n）an=nan+1，则 ，

等式两边同时相乘得，

即=n，即an=na1=n，即数列{an}的通项公式为an=n，

则f（a36）+f（a37）=f（36）+f（37）=f（0）+f（1），

∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，

∵f（-1）=3，∴-f（1）=3，即f（1）=-3，

则f（a36）+f（a37）=f（36）+f（37）=f（0）+f（1）=0-3=-3，

故选：A．