题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求
在区间
上的最值;
(2)讨论函数的单调性;
(3)当时,有
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ);
(Ⅱ)见解析;
(Ⅲ)(﹣1,0)
【解析】
(1)求出函数在区间上的极值和端点值,比较后可得最值;(2)根据
的不同取值进行分类讨论,得到导函数的符号后可得函数的单调性;(3)当
时,求出函数
的最小值为
,故问题转化为当
时
恒成立,整理得到关于
的不等式,解不等式可得所求范围.
(1)当时,
,
∴.
∴当时,
单调递减;当
时,
单调递增.
∴当时,函数取得极小值,也为最小值,且最小值为
.
又,
,
∴.
所以函数在区间上的最小值为
,最大值为
.
(2)由题意得,
.
①当,即
时,
恒成立,
∴在
上单调递减.
②当时,
恒成立,
∴在
上单调递增.
③当时,
,
由得
,或
(舍去),
∴在
上单调递减,在
上单调递增.
综上可得,当,
在
上单调递增;
当时,
在
上单调递减,在
单调递增;
当时,
在
上单调递减.
(3)由(2)可得,当时,
,
若不等式恒成立,则只需
,
即,
整理得,
解得,
∴,
又,
∴.
∴实数的取值范围为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生
(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率pi(i=1,2,3);
(2)甲乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编程写出程序重复运行n次后,统计记录输出y的值为i(i=1,2,3)的频数,以下是甲乙所作频数统计表的部分数据.
甲的频数统计图(部分)
运行次数n | 输出y的值为1的频数 | 输出y的值为2的频数 | 输出y的值为3的频数 |
30 | 14 | 6 | 10 |
… | … | … | … |
2100 | 1027 | 376 | 697 |
乙的频数统计图(部分)
运行次数n | 输出y的值为1的频数 | 输出y的值为2的频数 | 输出y的值为3的频数 |
30 | 12 | 11 | 7 |
… | … | … | … |
2100 | 1051 | 696 | 353 |
当n=2100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能性较大;
(3)将按程序摆图正确编写的程序运行3次,求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望.