Question

【题目】已知抛物线：的焦点为，直线与交于，两点，且与轴交于点.

（1）若直线的斜率，且，求的值；

（2）若，轴上是否存在点，总有？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)存在，

【解析】

（1）依题意，设：，联立方程可得，借助韦达定理表示，即可得到结果；

（2）讨论直线的斜率，直线存在斜率时，联立方程，借助韦达定理表示，即可得到点.

（1）解法一：依题意，设：，

联立：，整理得①

由，得，

又且，∴或（舍去），

所以①式可化为，设，，则，

∴.

解法二：依题意，设：，

联立：，整理得①

∴，即，

又且，∴或（舍去），

所以①式可化为，设，，则，

∴.

（2）当直线斜率不存在时，由对称性知，存在点满足，

若直线存在斜率，设为则：，联立：，

整理得，

∵，∴，

设由易知即，

∴即，

∴，∵，∴，

所以.

综上所述，当时，轴上存在点，总有.