题目内容
【题目】如图，四棱锥
的一个侧面
为等边三角形，且平面
平面
，四边形是平行四边形，
，
，
.
（1）求证：
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
（1）由面面垂直的性质可得
平面
，即可证得
（2）作
于点
，过点作
于点
，连接
，以为坐标原点，以
，
，
所在直线为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，利用向量法求平面
法向量，利用向量夹角即可求出.
（1）证明：在
中，
，
，
，
∴
.
又平面
平面
，
平面
平面
，
∴平面，∴.
（2）如图，作于点，
则
平面，
过点作于点，连接，
以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则
，
，
，
，
，
，
由（1）知平面
的一个法向量为
，
设平面的法向量为
，
则
，即
，
取
，
设平面与平面所成二面角的平面角为
，
则
.
所以二面角
的余弦值为.
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