题目内容
【题目】如图，在三棱柱
中，
、
分别为
、
的中点，
，
，
.
⑴求证：
平面
；
⑵求二面角
的正弦值；
⑶已知
为棱
上的点，若
，求线段
的长度.
【答案】（1）证明见解析（2）
（3）
【解析】
（1）证明
，
，再根据
，从而得到线面垂直的证明；
（2）以点
为坐标原点，分别以
的方向为
轴的正方向，利用向量法求得二面角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系求得正弦值；
（3）结合（2）中
，求得点
，再求
的值，从而求得线段
的长度.
（1）在三角形
中，
且为
的中点，
所以.①
在
中，
,
.
连接
，在
中，
，
所以
.
又
，所以
，所以.②
又因为，③
由①②③，得
平面
.
（2）以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
所以
.
设
为平面
的法向量，
则有
即
令
，得
所以
.
易得，
且为平面的法向量，
所以
，
，
所以
.
故所求二面角
的正弦值为
（3）由（2）知.
设点
，则
.
又
，
，
所以
，从而
即点.
所以
.
所以
.
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