题目内容

已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0<a≤4)的圆心为C,直线l:y=x+m.
(1)若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值;
(2)若直线l是圆心下方的切线,当a在的变化时,求m的取值范围.

(1)已知圆的标准方程是(x+a)2+(y-a)2=4a(0<a≤4),则圆心C的坐标是(-a,a),半径为2.直线l的方程化为:x-y+4=0.
则圆心C到直线l的距离是=|2-a|.
设直线l被圆C所截得弦长为L,由圆、圆心距和圆的半径之间关系是:
L=2
=2=2.
∵0<a≤4,∴当a=3时,L的最大值为2.
(2)因为直线l与圆C相切,则有=2,
即|m-2a|=2.
又点C在直线l的上方,∴a>-a+m,即2a>m.
∴2a-m=2,∴m=2-1.
∵0<a≤4,∴0<≤2.
∴m∈[-1,8-4].

解析

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