Question

(本小题满分16分)
已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，nÎN*．
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)设b_n= log₂，T_n=+++…+，是否存在最大的正整数k，使得对于任意的正整数n，有T_n>恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）a_n=(n+1)2ⁿ，nÎN*．（2）存在最大正整数k=5，使得T_n>恒成立．

本试题主要是考查了数列的前n项和与通项公式之间的互化问题，并能结合等差数列的定义得到通项公式，以及跟木同通项公式的特点，求解数列的和，采用了函数的单调性的思想，求解最值，从而得到常数k的值。
（1）根据已知的数列的前n项和与通项公式的关系，可以对于n=1,和n》2分为两种情况来分析得到结论。
（2）根据第一问中的通项公式，表示b_n= log₂= n+1，和T_n，然后利用整体的单调性来求解参数k的值。
解: (1)当n=1时，a₁=S₁=2a₁-2²⇒a₁=4；                   ·········· 1分
当n≥2时，a_n=S_n－S_n－1=(2a_n-2ⁿ⁺¹)－(2a _n－1-2ⁿ)⇒a_n- a _n－1=2ⁿ，·········· 2分
⇒－ =1，且 =2，                              ········ 3分
所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
则 =2+(n－1)×1=" n" +1，所以a_n=(n+1)2ⁿ，nÎN*．        ········ 6分
(2)由(1)得S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹=(n+1)2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹=n2ⁿ⁺¹，              ·········· 8分
则=2ⁿ⁺¹，所以b_n= log₂= n+1，                         ········ 10分
所以T_n= +++…+ = + + +…+，
T_n+1= +++…+++ = +++…+++，
T_n+1－T_n= +－=，
又n是正整数，所以T_n+1－T_n=>0，即T_n+1>T_n，
所以数列{T_n}是递增的数列，又T₁ ==，                  ········ 14分
所以T_n≥T₁=，要使T_n>恒成立，只需>，即k<6，
又k是正整数，故存在最大正整数k=5，使得T_n>恒成立．      16分