Question

已知关于x的不等式e^x|x-a|≥x在x∈R上恒成立，则实数a的取值范围为______．

Answer 1

∵e^x|x-a|≥x，
∴|x-a|≥

x

ex

，
∴x-a≤-

x

ex

或x-a≥

x

ex

，
∴a≥x+

x

ex

或a≤x-

x

ex

，
∵关于x的不等式e^x|x-a|≥x在x∈R上恒成立，
∴a≥x+

x

ex

或a≤x-

x

ex

在x∈R上恒成立，
令f（x）=x+

x

ex

，g（x）=x-

x

ex

，
∴a≥x+

x

ex

或a≤x-

x

ex

在x∈R上恒成立，
转化为a≥f（x）_max①，或a≤g（x）_min②，
下面求解①：
∵f（x）=x+

x

ex

，
∴f′（x）=1+

(1-x)ex

(ex)2

=

ex-x+1

ex

，
令h（x）=e^x-x+1，则h′（x）=e^x-1=0，解得x=0，
当x＜0时，h′（x）＜0，当x＞0时，h′（x）＞0，
∴h（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴h（x）的最小值为h（0）=2，
∴h（x）＞0对x∈R恒成立，
∴f′（x）=

ex-x+1

ex

＞0对x∈R恒成立，
∴f（x）在R上为单调递增函数，
故f（x）无最大值，
∴a无解；
下面求解②：
∵g（x）=x-

x

ex

，
∴g′（x）=1-

(1-x)ex

(ex)2

=

ex+x-1

ex

，
令m（x）=e^x+x-1，则m′（x）=e^x+1＞0对x∈R恒成立，
∴m（x）在R上为单调递增函数，
又m（0）=0，
∴当x＜0时，m（x）＜0，即g′（x）＜0，
当x＞0时，m（x）＞0，即g′（x）＞0，
∴g（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
∴当x=0时，g（x）取得最小值g（x）_min=0，
∴a≤0．
综合①②，实数a的取值范围为a≤0．