Question

已知函数f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x），（a＞0且a≠1）．
（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（2）当函数f（x）的定义域为（-1，1）时，求使f（1-m）+f（1-m²）＜0成立的实数m的取值范围．

Answer 1

（1）函数f（x）在R上为增函数．
证明如下：设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

a

a2-1

[（a^x₁-a^-x₁）-（a^x₂-a^-x₂）]=

a

a2-1

(ax1-ax2)(1+

1

ax1ax2

)，
当a＞1时，a²-1＞0，a^x₁-a^x₂＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）；
当0＜a＜1时，a²-1＜0，a^x₁-a^x₂＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴当a＞0且a≠1时，f（x）在R上是增函数；
（2）∵f（x）定义域为（-1，1），在数轴上关于原点对称，…（8分）
又∵f(-x)=

a

a2-1

(a-x-ax)=-

a

a2-1

(ax-a-x)=-f（x），
∴f（x）是定义域（-1，1）上的奇函数．…（10分）
由f（1-m）+f（1-m²）＜0得f（1-m）＜-f（1-m²），∴f（1-m）＜f（m²-1），…（12分）
∴

-1＜1-m＜1 -1＜1-m2＜1 1-m＜m2-1

，…（14分）
解得1＜m＜

2

即为所求m的取值范围．…（15分）