题目内容
设函数f(x)=
(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数
(1)求t的值;
(2)若f(1)>0,求使不等式f(kx-x2)+f(x-1)<0对一切x∈R恒成立的实数k的取值范围;
(3)若函数f(x)的反函数过点(
,1),是否存在正数m,且m≠1使函数g(x)=logm[a2x+a-2x-mf(x)]在[1,log23]上的最大值为0,若存在求出m的值,若不存在请说明理由.
a2x-(t-1) |
ax |
(1)求t的值;
(2)若f(1)>0,求使不等式f(kx-x2)+f(x-1)<0对一切x∈R恒成立的实数k的取值范围;
(3)若函数f(x)的反函数过点(
3 |
2 |
(1)∵函数f(x)=
(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数,
∴f(0)=0,即
=0,
∴t=2;
(2)由(1)可知,t=2,
∴f(x)=
,
∵f(1)>0,
∴
>0,即
>0,
又∵a>0,
∴a>1,
∵f(x)为奇函数,
∴-f(x-1)=f(1-x),
∴不等式f(kx-x2)+f(x-1)<0对一切x∈R恒成立,即f(kx-x2)<f(1-x)对一切x∈R恒成立,
∵a>1,则y=ax在R上为单调递增函数,
∴f(x)=
=ax-
在R上为单调递增函数,
∴kx-x2<1-x对一切x∈R恒成立,即x2-(k+1)x+1>0对一切x∈R恒成立,
∴△=(k+1)2-4<0,即k2+2k-3<0,
∴-3<k<1,
∴实数k的取值范围为-3<k<1;
(3)假设存在正数m,且m≠1符合题意,
∵函数f(x)的反函数过点(
,1),
∴
=
,
∴a=-
或a=2,
∵a>0,
∴a=2,
∵g(x)=logm[a2x+a-2x-mf(x)],
∴g(x)=logm[(2x-2-x)2-m(2x-2-x)+2],
令t=2x-2-x,
∴(2x-2-x)-m(2x-2-x)+2=t2-mt+2,
∵x∈[1,log23],
∴t∈[
,
],
记h(t)=t2-mt+2,
∵函数g(x)=logm[a2x+a-2x-mf(x)]在[1,log23]上的最大值为0,
①当0<m<1时,y=logmh(t)是单调递减函数,
∴函数h(t)=t2-mt+2在[
,
]有最小值1,
∵对称轴t=
<
,
∴函数h(t)在[
,
]上单调递增,
∴h(t)min=h(
)=
-
m=1,
∴m=
,
∵0<m<1,
∴m=
不符合题意;
②当m>1时,则函数h(t)>0在[
,
]上恒成立,且最大值为1,最小值大于0,
∵函数h(t)=t2-mt+2在[
,
]有最大值1,h(t)的对称轴为x=
,
(i)当
<
,即m<
时,
当t=
时,h(t)取得最大值h(
)=
-
=1,
∴m=
,
又∵
=
∈[
,
],
∴当t=
时,h(t)取得最小值h(
)<0,
∴g(x)在[1,log23]无意义,
∴m=
不符合题意;
(ii)当
≥
,即m≥
时,
当t=
时,h(t)取得最大值h(
)=
-
=1,
∴m=
,
∵m≥
,
∴m=
不符合题意.
综上所述,不存在正数m,使函数g(x)在[1,log23]上的最大值为0.
a2x-(t-1) |
ax |
∴f(0)=0,即
a0-(t-1) |
a0 |
∴t=2;
(2)由(1)可知,t=2,
∴f(x)=
a2x-1 |
ax |
∵f(1)>0,
∴
a2-1 |
a |
(a+1)(a-1) |
a |
又∵a>0,
∴a>1,
∵f(x)为奇函数,
∴-f(x-1)=f(1-x),
∴不等式f(kx-x2)+f(x-1)<0对一切x∈R恒成立,即f(kx-x2)<f(1-x)对一切x∈R恒成立,
∵a>1,则y=ax在R上为单调递增函数,
∴f(x)=
a2x-1 |
ax |
1 |
ax |
∴kx-x2<1-x对一切x∈R恒成立,即x2-(k+1)x+1>0对一切x∈R恒成立,
∴△=(k+1)2-4<0,即k2+2k-3<0,
∴-3<k<1,
∴实数k的取值范围为-3<k<1;
(3)假设存在正数m,且m≠1符合题意,
∵函数f(x)的反函数过点(
3 |
2 |
∴
3 |
2 |
a2-1 |
a |
∴a=-
1 |
2 |
∵a>0,
∴a=2,
∵g(x)=logm[a2x+a-2x-mf(x)],
∴g(x)=logm[(2x-2-x)2-m(2x-2-x)+2],
令t=2x-2-x,
∴(2x-2-x)-m(2x-2-x)+2=t2-mt+2,
∵x∈[1,log23],
∴t∈[
3 |
2 |
8 |
3 |
记h(t)=t2-mt+2,
∵函数g(x)=logm[a2x+a-2x-mf(x)]在[1,log23]上的最大值为0,
①当0<m<1时,y=logmh(t)是单调递减函数,
∴函数h(t)=t2-mt+2在[
3 |
2 |
8 |
3 |
∵对称轴t=
m |
2 |
1 |
2 |
∴函数h(t)在[
3 |
2 |
8 |
3 |
∴h(t)min=h(
3 |
2 |
17 |
4 |
3 |
2 |
∴m=
13 |
6 |
∵0<m<1,
∴m=
13 |
6 |
②当m>1时,则函数h(t)>0在[
3 |
2 |
8 |
3 |
∵函数h(t)=t2-mt+2在[
3 |
2 |
8 |
3 |
m |
2 |
(i)当
m |
2 |
25 |
12 |
25 |
6 |
当t=
8 |
3 |
8 |
3 |
82 |
9 |
8m |
3 |
∴m=
73 |
24 |
又∵
m |
2 |
73 |
48 |
3 |
2 |
8 |
3 |
∴当t=
73 |
48 |
73 |
48 |
∴g(x)在[1,log23]无意义,
∴m=
73 |
24 |
(ii)当
m |
2 |
25 |
12 |
25 |
6 |
当t=
3 |
2 |
3 |
2 |
17 |
4 |
3m |
2 |
∴m=
13 |
6 |
∵m≥
25 |
6 |
∴m=
13 |
6 |
综上所述,不存在正数m,使函数g(x)在[1,log23]上的最大值为0.

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