Question

【题目】已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N两点，求|MN|的最小值．

Answer 1

【答案】（1）x2=4y

（2）当t=﹣时，|MN|的最小值是

【解析】（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y

（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1

由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0

所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，从而有|x1﹣x2|==4

由解得点M的横坐标为xM===，

同理可得点N的横坐标为xN=

所以|MN|=|xM﹣xN|=|﹣|=8||=

令4k﹣3=t，t不为0，则k=

当t＞0时，|MN|=2＞2

当t＜0时，|MN|=2=2≥

综上所述，当t=﹣时，|MN|的最小值是