Question

18．设定义在R上的函数f（x）同时满足以下三个条件：
①f（x）+f（-x）=0；
②f（x+2）=f（x）；
③当0＜x＜1时，$f（x）=-\frac{x}{2}$，
则$f（\frac{3}{2}）$=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由①得f（x）为奇函数，由②可得f（x）的周期为2，可得$f（\frac{3}{2}）$=-f（$\frac{1}{2}$），再由③计算即可得到所求值．

解答 解：由①可得f（-x）=-f（x），即f（x）为奇函数；
由②可得f（x）为最小正周期是2的函数，
则f（$\frac{3}{2}$）=-f（-$\frac{3}{2}$）=-f（2-$\frac{3}{2}$）
=-f（$\frac{1}{2}$），
由③可得，f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，
即有f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查函数的奇偶性和周期性的判断及应用，考查赋值法数学的运用，考查运算能力，属于中档题．