Question

20．（1）若正数a，b满足a≥4，ab=a+b+3，则ab的取值范围是多少？
（2）已知a＞0，b＞0，4a+b=1，求$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）将a的最小值代入求出b的值，从而求出ab的取值范围；
（2）把$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$看成（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）×1的形式，把“1”换成4a+b，整理后积为定值，然后用基本不等式求最小值．

解答 解：（1）若正数a，b满足a≥4，ab=a+b+3，
则a=4时：b=$\frac{7}{3}$，此时ab=$\frac{28}{3}$，
故ab的取值范围是[$\frac{28}{3}$，+∞）；
（2）∵$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）×（4a+b）
=4+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$+1
≥5+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}$=9，
等号成立的条件为$\frac{b}{a}$=$\frac{4a}{b}$．
所以$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为9．

点评 本题考查了基本不等式在求最值中的应用，解决（2）题的关键是“1”的代换．