题目内容
【题目】已知点A是抛物线M:y2=2px(p>0)与圆C:x2+(y﹣4)2=a2在第一象限的公共点,且点A到抛物线M焦点F的距离为a,若抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a,O为坐标原点,则直线OA被圆C所截得的弦长为( )
A.2
B.2
C.
D.
【答案】C
【解析】解:圆C:x2+(y﹣4)2=a2的圆心C(0,4),半径为a,
|AC|+|AF|=2a,
由抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a,
则由抛物线的定义可得动点到焦点与到点C的距离之和的最小值为2a,
可得A,C,F三点共线时取得最小值,且有A为CF的中点,
由C(0,4),F( ,0),可得A(
,2),
代入抛物线的方程可得,4=2p ,解得p=2
,
即有a= +
=
,A(
,2),
可得C到直线OA:y=2 x的距离为d=
=
,
可得直线OA被圆C所截得的弦长为2 =
.
所以答案是:C.
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