Question

【题目】在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点称为整点.试证：存在一个同心圆的集合，使得：（1）每个整点都在此集体的某一圆周上；（2）此集合的每个圆周上.有且只有一个整点.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

假设同心圆圆心为P（x，y）任两点整点A（a，b）和B（c，d），其中a = c，b = d不同时成立.

.

，

.

∵，a = c，b = d不同时成立，

∴要使，只需取x为任意无理数，y取任意分母不为2的非整有理数即可（或x，y各取形如的最简非同类根式的无理数，其中）.

如取（或），则任意两个不同整点到的距离都不相等.

把所有整点到P点的距离从小到大排成一列，以为圆心，以为半径作的同心圆集合即为所求.

（注：P点坐标还可其他超越数，如等等.）

证明三 设坐标平面上任两个不同整点A（a，b）和B（c，d），分三类情况讨论.

（1），中点，AB垂直平分线方程为；

（2），中点，AB垂直平分线方程为；

（3），中点，AB垂直平分线方程为.

显然，只有在上述三类直线上的点才有可能到平面上某两整点的距离相等.若取，则必然不在上述三类直线上，则到任意两个不同整点的距离都不相等.