Question

10．设f（x）=x²+$\frac{16}{x}$，用定义证明f（x）在[2，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 根据增函数的定义，设任意的x₁＞x₂≥2，然后作差f（x₁）-f（x₂），提取公因式x₁-x₂，从而证明f（x₁）＞f（x₂），这样便可得出f（x）在[2，+∞）上是增函数．

解答 证明：设x₁＞x₂≥2，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={{x}_{1}}^{2}+\frac{16}{{x}_{1}}-{{x}_{2}}^{2}-\frac{16}{{x}_{2}}$=$（{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}）+（\frac{16}{{x}_{1}}-\frac{16}{{x}_{2}}）$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}-\frac{16}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁＞x₂≥2；
∴x₁+x₂＞4，x₁-x₂＞0，x₁x₂＞4，$-\frac{16}{{x}_{1}{x}_{2}}＞-4$；
∴${x}_{1}+{x}_{2}-\frac{16}{{x}_{1}{x}_{2}}＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在[2，+∞）上是增函数．

点评 考查增函数的定义，以及利用增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x₁）与f（x₂），并且作差以后一般会提取公因式x₁-x₂．