Question

19．已知函数f（x）=log_a（x-1），g（x）=log_a（3-x）（a＞0且a≠1）．
（1）求函数G（x）=f（x）-g（x）的定义域；
（2）探讨H（x）=f（x-1）+g（x+1）的奇偶性；
（3）利用对数函数的单调性，讨论不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据对数的定义，即可求出函数的定义域；
（2）先求出函数的定义域为空集，问题得以解决，
（3）分两类讨论，根据对数函数额单调性即可求出．

解答 解：（1）∵要使函数G（x）=f（x）-g（x）=log_a（x-1）-log_a（3-x）有意义
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{3-x＞0}\end{array}\right.$，
解的1＜x＜3，
∴函数G（x）=f（x）-g（x）的定义域为（1，3）；
（2）∵H（x）=f（x-1）+g（x+1），
∴H（x）=log_a（x-1-1）+g（x）=log_a（3-x-1）=log_a（x-2）+log_a（2-x），
∵$\left\{\begin{array}{l}{x-2＞0}\\{2-x＞0}\end{array}\right.$，解的H（x）定义域为∅，
∴H（x）=f（x-1）+g（x+1）为非奇非偶函数．
（3）∵不等式f（x）≥g（x），即 log_a（x-1）≥log_a（3-x），
∴当a＞1时，有 $\left\{\begin{array}{l}{x-1＞3-x}\\{1＜x＜3}\end{array}\right.$，
解得 2＜x＜3．
当0，有 $\left\{\begin{array}{l}{x-1＜3-x}\\{1＜x＜3}\end{array}\right.$，
解得 1＜x＜2．
综上可得，当a＞1时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（2，3）；
当＜a＜1时，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（1，2）．

点评 本题考查了对数函数的定义域以及对数函数的图象和性质，属于基础题．