Question

14．在两坐标轴上截距相等且与圆：${x^2}+{（{y-\sqrt{2}}）^2}=1$相切的直线有3条．

Answer 1

分析 分直线经过原点、直线不经过原点两种情况，分别设出直线的方程，再根据心（0，$\sqrt{2}$）到直线的距离等于半径1，求出待定系数，从而得出结论．

解答 解：①当直线经过原点时，设方程为y=kx，由圆心（0，$\sqrt{2}$）到直线的距离等于半径1，
可得$\frac{|0-\sqrt{2}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，求得k=±1，故此时，满足条件的直线有2条．
②当直线不经过原点时，设直线的方程为x+y=a，a≠0，
由圆心（0，$\sqrt{2}$）到直线的距离等于半径1，可得$\frac{|0+\sqrt{2}-a|}{\sqrt{2}}$=1，求得a=0（舍去），或a=2$\sqrt{2}$，
综上可得，满足条件的直线共有3条，
故答案为：3．

点评 本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．