Question

过点作已知直线的平行线，交双曲线于点.
（1）证明：点是线段的中点.
（2）分别过点作双曲线的切线，证明：三条直线相交于同一点.
（3）设为直线上一动点，过点作双曲线的切线，切点分别为.证明：点在直线AB上.

Answer 1

证明略

（1）直线的方程为，即，代入双曲线方程，得 .
设，则是方程的两根，所以，
于是，故点是线段的中点. ………5分
（2）双曲线的过点的切线方程分别为
，.
联立，得两式相加，并将，代入，得，这说明直线的交点在直线上，即三条直线相交于同一点.                                             …………………………10分
（3）设，，则的方程分别为和，因为点在两条直线上，所以，，这表明点都在直线上，即直线的方程为.
又，代入整理得，显然，无论取什么值（即无论为直线上哪一点），点都在直线AB上. …………………………20分