题目内容
【题目】已知抛物线,过其焦点
的直线与抛物线相交于
、
两点,满足
.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知点的坐标为
,记直线
、
的斜率分别为
,
,求
的最小值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)设直线的方程为
,将直线
的方程与抛物线
的方程联立,消去
,利用韦达定理并结合条件
可求出实数
的值,由此得出抛物线
的方程;
(2)由(1)得出直线的方程为
,将该直线方程与抛物线
的方程联立,并列出韦达定理,利用斜率公式结合韦达定理得出
关于
的表达式,可得出
的最小值.
(1)因为直线过焦点
,设直线
的方程为
,
将直线的方程与抛物线
的方程联立
,消去
得
,
所以有,
,
,因此,抛物线
的方程
;
(2)由(1)知抛物线的焦点坐示为,设直线
的方程为
,
联立抛物线的方程,所以
,
,
则有,
,
因此
.
因此,当且仅当时,
有最小值
.
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