题目内容
【题目】已知过椭圆的左焦点
,作斜率为
的直线
,交椭圆
于
两点.
(1)若原点到直线
的距离为
,求直线
的方程;
(2)设点,直线
与椭圆
交于另一点
,直线
与椭圆
交于另一点
.设
的斜率为
,则
是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1)或
;(2)
.
【解析】
(1)设过点F且斜率为k的直线l的方程为,利用点到直线的距离公式,求得
,即可得到所求直线的方程;
(2)设,
,
,
,设直线AM的方程为
,
联立方程组,根据根据与系数的关系,求得,所以
,进而得到
,同理得到
,化简得到
,即可得到结论.
(1)由椭圆,可知
,
所以可设过点F且斜率为k的直线l的方程为,
即,设原点O到直线l的距离为d,则
,
依题意有,
所以所求的直线l的方程为或
.
(2)设,
,
,
,
因为点,所以可设直线AM的方程为
,
联立方程,消去y得
,
整理,得.(*)
所以,
是方程(*)的两实根,所以
,所以
,
所以.
所以
同理,
,即
.
所以
,
所以(定值).
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