Question

【题目】在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E为AB的中点．
（Ⅰ）求证：AN∥平面MEC；
（Ⅱ）在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为 ？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）CM与BN交于F，连接EF．

由已知可得四边形BCNM是平行四边形，

所以F是BN的中点．

因为E是AB的中点，

所以AN∥EF．

又EF平面MEC，AN平面MEC，

所以AN∥平面MEC．

（II）由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DE⊥AB．

又四边形ADNM是矩形，面ADNM⊥面ABCD，

∴DN⊥面ABCD，

如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，

则D（0，0，0），E（ ，0，0），C（0，2，0），P（ ，﹣1，h），

=（ ，﹣2，0）， =（0，﹣1，h），

设平面PEC的法向量为 =（x，y，z）．

则 ，∴ ，

令y= h，∴ =（2h， h， ），

又平面ADE的法向量 =（0，0，1），

∴cos＜ ， ＞= = = ，解得h= ，

∴在线段AM上是否存在点P，当h= 时使二面角P﹣EC﹣D的大小为 ．

【解析】（I）利用CM与BN交于F，连接EF．证明AN∥EF，通过直线与平面平行的判定定理证明AN∥平面MEC；

（II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设x在线段AM上是否存在点P，使二面角P﹣EC﹣D的大小为 ．再通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用坐标法进行求解判断．

【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此面平行；简记为：线线平行，则线面平行即可以解答此题．