题目内容
【题目】已知抛物线E:的焦点为F,过点F的直线l与E交于A,C两点
(1)分别过A,C两点作抛物线E的切线,求证:抛物线E在A、C两点处的切线互相垂直;
(2)过点F作直线l的垂线与抛物线E交于B,D两点,求四边形ABCD的面积的最小值.
【答案】(1)见解析;(2)32
【解析】
(1)设出直线l的方程与抛物线联立,利用韦达定理及导数求得斜率相乘为﹣1即可;
(2)用弦长公式求出弦长|AC|和|BD|,再算出面积后,用基本不等式求最值.
(1)证明:设过点F(0,1)的直线方程为:y=kx+1,
由,得x2﹣4kx﹣4=0,
设A(x1,y1),C(x2,y2),
则,
∵yx2,∴y′
x,
设抛物线E在点A、C两点处的切线的斜率分别为k1,k2,
则k1k2x1
x2
x1x2=﹣1,
故抛物线E在A,C两点处的切线互相垂直.
(2)由(1)知|AC|4(k2+1)
同理|BD|=4(1)
∴S四边形ABCD|AC||BD|=8(k2+1)(1
)
=8(1+k21)
≥8(2+2)
=32,
∴四边形ABCD的面积的最小值为32.
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